Conjuntos

Jun 22 2010

Vou reunir aqui alguns resultados sobre conjuntos. Depois, numa próxima postagem, reunirei alguns resultados sobre funções.

Conjuntos

Um conjunto $X$ é uma coleção de objetos — bastante desapontante, não? Escreve-se $x \in X$ para denotar que $x$ pertence ao conjunto $X$ .

Geralmente denota-se um conjunto diretamente, pelos seus elementos, escrevendo $X = \{x, y, \ldots, z\}$ , ou informando qual propriedade um elemento deverá satisfazer para que pertença ao conjunto, isto é, $X = \{x: x \:\text{satisfaz a propriedade}\}$ .

Vamos concordar que dois conjuntos $X$ e $Y$ são iguais se eles possuem exatamente os mesmos elementos — $x \in X$ se e somente se $x \in Y$ — e escrevemos $X = Y$ .

Um subconjunto $S$ de $X$ é um conjunto de elementos que também pertencem a $X$ — se $x \in S$ , então $x \in X$ . Escrevemos então $S \subseteq X$ . Um subconjunto $S$ de $X$ é próprio se $S \subseteq X$ e $S \neq X$ , que denotamos por $S \subset X$ .

Fica claro destas definições que dois conjuntos são iguais se um é subconjunto do outro, isto é, $X = Y$ se e somente se $X \subseteq Y$ e $Y \subseteq X$ .

Definição 1: O conjunto vazio é o conjunto que não possui nenhum elemento, que denotamos por $\emptyset$ .

O conjunto $\emptyset$ é subconjunto de qualquer outro conjunto $X$ , uma vez que do contrário, deveria existir $x \in \emptyset$ tal que $x \not\in X$ , o que é absurdo pois, para início de conversa, $\emptyset$ não possui nenhum elemento.

Definição 2: Se $X$ e $Y$ são conjuntos, definimos

$X \cap Y = \{z: z \in X \:\text{e}\: z \in Y\}$ e

$X \cup Y = \{z: z \in X \:\text{ou}\: z \in Y\}$

como sendo a intersecção e união de dois conjuntos, respectivamente. De maneira mais geral, definimos, para $A_i$ , $i \in I$ , uma família de conjuntos — o conjunto $I$ neste caso é denotado de conjunto índice —, as operações

$\bigcap_{i \in I}{A_i} = \{z: z \in A_i, \:\text{para todo}\: i \in I\}$ ,

$\bigcup_{i \in I}{A_i} = \{z: z \in A_i, \:\text{para algum}\: i \in I\}$ ,

denominadas intersecção e união de família, respectivamente.

Desta definição fica óbvio que:

$X \cap Y \subseteq X$ e $X \cap Y \subseteq Y$ ;
Se $S \subseteq X$ e $S \subseteq Y$ , então $S \subseteq X \cap Y$ . De maneira similar, $\bigcap_{i \in I}{A_i} \subseteq A_j$ , para todo $j \in I$ ;
$X \subseteq X \cup Y$ e $Y \subseteq X \cup Y$ ;
Se $X \subseteq S$ e $Y \subseteq S$ , então $X \cup Y \subseteq S$ . De maneira similar, $A_j \subseteq \bigcup_{i \in I}{A_i}$ , para todo $j \in I$ ;

Definição 3: Definimos $X \setminus Y = \{z \in X: z \not\in Y\}$ e chamamos esta operação de subtração dos conjuntos $X$ e $Y$ .

Observe que $X \setminus Y$ e $Y \setminus X$ não possuem nenhum elemento em comum, isto é, $(X \setminus Y)\cap(Y \setminus X) = \emptyset$ . Sempre que dois conjuntos $A$ e $B$ forem tais que $A \cap B = \emptyset$ , dizemos que estes conjuntos são disjuntos. Neste caso, dizemos que $A = X \setminus Y$ e $B = Y \setminus X$ são disjuntos.

Se estivermos trabalhando apenas com subconjuntos de um conjunto $U$ , denotaremos $U$ como conjunto universo e designaremos para $X \subseteq U$ , o conjunto complemento em $U$ $X^{c} = U \setminus X$ .

Fica claro então que $X$ e $X^{c}$ são disjuntos. De maneira mais geral, se $X \subseteq U$ e $Y \subseteq U$ forem conjuntos disjuntos — isto é, se $Y \cap X = \emptyset$ —, então $Y \subseteq X^{c}$ .

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