Conjuntos

Vou reunir aqui alguns resultados sobre conjuntos. Depois, numa próxima postagem, reunirei alguns resultados sobre funções.

Conjuntos

Um conjunto é uma coleção de objetos — bastante desapontante, não? Escreve-se para denotar que pertence ao conjunto .

Geralmente denota-se um conjunto diretamente, pelos seus elementos, escrevendo , ou informando qual propriedade um elemento deverá satisfazer para que pertença ao conjunto, isto é, .

Vamos concordar que dois conjuntos e são iguais se eles possuem exatamente os mesmos elementos — se e somente se — e escrevemos .

Um subconjunto de é um conjunto de elementos que também pertencem a — se , então . Escrevemos então . Um subconjunto de é próprio se e , que denotamos por .

Fica claro destas definições que dois conjuntos são iguais se um é subconjunto do outro, isto é, se e somente se e .

Definição 1: O conjunto vazio é o conjunto que não possui nenhum elemento, que denotamos por .

O conjunto é subconjunto de qualquer outro conjunto , uma vez que do contrário, deveria existir tal que , o que é absurdo pois, para início de conversa, não possui nenhum elemento.

Definição 2: Se e são conjuntos, definimos

e

como sendo a intersecção e união de dois conjuntos, respectivamente. De maneira mais geral, definimos, para , , uma família de conjuntos — o conjunto neste caso é denotado de conjunto índice —, as operações

,

,

denominadas intersecção e união de família, respectivamente.

Desta definição fica óbvio que:

• e ;
• Se e , então . De maneira similar, , para todo ;
• e ;
• Se e , então . De maneira similar, , para todo ;

Definição 3: Definimos e chamamos esta operação de subtração dos conjuntos e .

Observe que e não possuem nenhum elemento em comum, isto é, . Sempre que dois conjuntos e forem tais que , dizemos que estes conjuntos são disjuntos. Neste caso, dizemos que e são disjuntos.

Se estivermos trabalhando apenas com subconjuntos de um conjunto , denotaremos como conjunto universo e designaremos para , o conjunto complemento em .

Fica claro então que e são disjuntos. De maneira mais geral, se e forem conjuntos disjuntos — isto é, se —, então .