Funções (parte 1)

Funções são como “regras” de atribuição. Uma função “atribui” um elemento de um conjunto a cada elemento de outro conjunto.

É intuitivo pensar então em funções como casos particulares de relações.

Definição 1: Sejam e conjuntos quaisquer. Uma função de em é uma relação entre e tal que se e , então e são os mesmos elementos de .

Em outras palavras, esta definição mostra que uma função não pode possuir dois pares ordenados distintos cujos primeiros elementos sejam iguais.

Se , representamos por e dizemos que é a imagem de em — às vezes escrevemos .

Quando precisamos especificar quais são os conjuntos e da definição, ao invés de , escrevemos .

Se é uma função de em , vamos denotar por domínio e por contradomínio de . Se , definimos como sendo o conjunto de todos os , para , e o chamaremos de imagem de em . Vamos concordar em chamar simplesmente de imagem o conjunto .

Definição 2: Uma função é:

• sobrejetiva se sua imagem for igual ao seu contradomínio, isto é, se ;
• injetiva se o fato de e serem elementos distintos de implicar em e serem elementos distintos de ;
• bijetiva se for sobrejetiva e injetiva ao mesmo tempo.

Para finalizar esta primeira parte, uma última definição:

Definição 3: A restrição de a um subconjunto de é a função definida de maneira tal que, para , é exatamente o mesmo elemento de que . Se é uma restrição de a , dizemos que é uma extensão de a .

Com esta definição, podemos definir novas funções a partir de funções anteriores, diminuindo ou aumentando os domínios, sem alterar o resto do comportamento da função.

Numa próxima parte definiremos a operação de composição e a função inversa de uma função — e daremos condições para que uma função seja inversível.